摘 要：將氣井不穩定流動階段的產量、壓力等生產數據處理為產量修正的擬壓力差與擬時間，利用兩者間的線性關系可以確定出裂縫長度、地層滲透率等參數，據此評價氣井壓裂效果、預測氣井生產動態。為了準確計算擬時間值，通過引入動邊界概念，將探測邊界視為壓力擾動的外邊緣，利用積分方法求解滲流偏微分方程，得到由氣井生產引起的探測邊界傳播規律，結合物質平衡方程獲得探測范圍內的平均地層壓力，并借助迭代算法確定不同生產時刻對應的氣體擬時間。結果表明：與擬時間相比，直接使用真實時間分析生產數據，定壓生產時引起直線斜率偏小，且生產壓差越大偏差程度越明顯，定產生產時導致數據線性相關性變差，氣井產量越高相關系數越低；在變產量生產時，利用物質平衡擬時間能夠消除氣體高壓物性和變產量帶來的非線性影響，明確生產數據間的線性關系，壓裂參數的計算結果更為合理。
關鍵詞：氣井 線性流 探測邊界 平均地層壓力 擬時間 生產數據 裂縫長度
Analysis of the unsteady production data of a gas well based on pseudo-time function
Abstract：The per-well performance data like productivity，pressure，etc．at the unsteady stage of the well production are processed as rate-normalized pseudo pressure and pseudo time．In order to evaluate the fracturing effect and predict the per-well performance,we need to determine the fracture length and formation permeability，etc．through utilizing the slope of a square-root-time plot(a plot of rate-normalized pressure vs．square root of pseudo time)．But the actual value of pseudo time is hard to obtain．Therefore，based on the concept of moving boundary，the distance of investigation was regarded as the region obviously affected by pressure disturbance．An approximate solution to the propagation rule of investigation boundary was obtained by an integral method at a variable rate condition，which was used to calculate the average pressure within the investigation region．The pseudo time value was thus calculated with the help of the corresponding iterated algorithm．The results showed that the slope of a square root time plot is smaller than that of a square root pseudo time plot at constant pressure conditions，while the plot of square root time derivates from the expected straight line at constant rate conditions，where the degree of these deviations is determined respectively by flowing pressure drop and production rate．At variable rate conditions，a distinct linear relationship in the plot could be observed by incorporating the material balance pseudo time，which results in a reliable calculated result of fracture length．
Keywords：gas well，linear flow，distance of investigation，average formation pressure，pseudo time，production data，fracture length
對于頁巖氣、致密氣等非常規氣藏，水平井輔以分段壓裂技術能夠增大地層接觸面積，減小滲流阻力，提高氣井產能，同時也將引起持續數年的不穩定線性流動期[1-4]。將日常生產數據處理為產量修正的生產擬壓差、擬時間，以反映出的流態特征為診斷工具，利用相應的數學表達式能夠獲取不同的參數，以此來評價壓裂效果與預測氣井產量[5-6]。
但是，氣體擬時間計算中涉及的平均地層壓力往往難以確定。Agrwal[7]和Mattar[8]分別利用壓力迭代法和地質儲量迭代法確定平均地層壓力，但都只適用于擬穩態生產階段；Anderson[9]為提出使用探測邊界內平均地層壓力的觀點，隨后Nobakht等[10-11]給出了利用物質平衡方程結合探測邊界傳播規律的求解思路，該方法雖然突破了擬穩態流動條件的限制，但難以應用到更具實際意義的變產量生產情況。
這樣，如何計算變產量下的探測邊界移動規律成為合理分析生產數據的關鍵。傳統探測邊界公式是基于不穩定滲流研究的結果，多是通過脈沖波的最大響應位置[12-13]或聯立不穩定與擬穩態壓力導數[14-15]確定。這些公式形式基本一致，均認為探測邊界移動速度與氣井工作制度無關，但Wattenbarger[16]計算表明，定壓和定產下的探測邊界公式并不相同。鑒于此，筆者借助低滲透儲層中的“動邊界” [17-19]概念，將探測邊界視為壓力擾動的外邊緣，通過積分方法獲得變產量下的探測邊界通用表達式，利用Nobakht方法計算平均地層壓力，并給出相應迭代算法計算氣體擬時間函數，同時對比分析使用真實時間對線性關系產生的影響，進而利用擬時間分析氣井不穩定生產數據，計算壓裂參數。
1 探測邊界內的平均地層壓力
1．1 探測邊界模型及近似解
致密介質滲透率極低，無自然產能，氣體只有在壓裂區域(SRV)內才能夠發生有效流動。假設各條裂縫等長、等間距分布，SRV區域內的滲流可以等效為一系列的線性流模型[20-22]。
借助低滲透“動邊界”概念研究探測邊界問題：假定地層均質，含氣飽和度100％，氣體全部為CH4，忽略重力和毛細管力的影響，不考慮地層孔隙的可壓縮性，壓力只在探測邊界內傳播。利用無量綱量處理氣體擬壓力控制方程，其中變產量下無量綱定義為：
則擬壓力為：
式中K為滲透率，mD；h為地層厚度，m；j為地層孔隙度；mg為氣體黏度，mPa·s；Bg為氣體體積系數；cg為氣體壓縮系數，Mpa-1；Zg為氣體偏差因子；T為地層溫度，K；y為空間坐標，m；yf為動邊界空間位置，m；xf為裂縫半長，m；qsc為氣井產量，m3／d；qref為參考產量，m3／d；Gp為累積產量，m3；p為地層壓力，MPa；t為生產時間，h；下標sc為標準狀態，psc=0.1MPa，Tsc=293.15K；下標i為地層原始狀態；下標D為無量綱量。
地層中的無量綱擬壓力控制方程滿足：
其中0≤yD≤yfD(tD)
壓力及探測邊界初始條件為：
mD(yD，0)=0 (3)
其中0≤yD≤yfD
yfD(0)=0
壓力及探測邊界邊界條件為：
由于探測邊界yfD隨時間而變化，直接求解(2)～(4)并非易事，這里采用近似求解方法。首先對控制方程(2)兩側先后關于空間變量(yD)和時間變量(tD)進行積分，利用邊界條件將偏微分方程式(2)轉化為探測邊界內物質平衡方程：
考慮到初始條件式(3)及邊界條件式(4)，令方程式(5)的近似解滿足二階精度近似，即
上式中a0(tD)和ag1(tD)為待定系數，通過邊界條件可以得到探測邊界內的壓力分布公式，即
將壓力近似解式(7)代入物質平衡方程式(5)，可以得到探測邊界在地層中的移動規律：
式(8)與經典探測邊界公式相比，系數更大、時間修正為物質平衡時間。利用式(8)可以得到任意生產制度下氣井探測邊界隨時間的移動規律。
1．2 探測邊界內平均地層壓力
從氣井流量來源的角度分析探測邊界的物理意義。氣井流量完全來自于地層孔隙內氣體的彈性壓縮，以探測邊界作為空間劃分點，氣井流量由兩部分地層組成：探測邊界內+探測邊界外。使用物質平衡方程的理想條件為外邊界封閉，即探測邊界內地層的流量供給占氣井流量的100％，所以探測邊界以內地層對氣井產量的供給比例決定著在探測邊界內使用物質平衡方程的準確性。
本文參考文獻[16]給出了定流量探測邊界表達式yfD=(2tD)1/2，定壓為yDf=(6tD) 1/2，而利用式(8)得到的探測邊界定流量表達式為：yDf=(6tD) 1/2。定壓：yDf=(6tDmb) 1/2=(12tD) 1/2。利用經典解關于yD的導數可獲得不同位置處的流量qD(yD，tD)，通過計算qD(yD，tD)／qD (0，tD)比值獲得探測邊界內地層對氣井流量的供給比例。其中本文參考文獻[16]定產條件下的計算結果為68.3％，定壓為63.9％，近似解式(8)分別為91.68％、95.02％。使用近似解增加了壓力擾動的波及范圍，減小了探測邊界外地層的流量供給比重，提高了在探測邊界內使用物質平衡方程的精度。
利用式(8)并結合物質平衡方程式(9)可以得到不同時刻探測邊界內的平均地層壓力(pavg)，這是計算氣體擬時間函數的基礎。
其中，利用式(8)可獲得不同生產制度下的探測邊界內地質儲量(G)為：
2 氣體擬時間
氣體具有強可壓縮性，其黏度(mg)、偏差因子(Zg)、體積系數(Bg)等都是關于壓力的強非線性函數，如果直接對氣體滲流控制方程中的擴散系數進行強行近似必然會引起較大的誤差。使用擬時間函數(tg)能夠將氣體滲流問題等效轉化為液體滲流問題，同時改進了“強行近似擴散系數(1／jmgcg)為常數”的假設條件，結果必然使得理論描述更接近于礦場實際情況，也方便液體研究領域內成果的參考和借鑒。其中，擬時間定義為：
2．1 定壓生產
在定壓生產條件下，線性流動階段的產量變化規律[16]滿足1／qsc＝at0.5。其中：
利用式(9)結合式(10)得到探測邊界內的物質平衡方程為：
式(13)表明探測邊界內的平均地層壓力為常數，擬時間與真實時間關系簡化為：
用擬時間取代真實時間，產量和探測邊界內的平均地層壓力重新修正式為：
其中，擬時間修正因子用來表示真實時間與擬時間的差異，定義為：
根據式(16)結合Newton迭代算法可以獲得不同生產壓差下的平均地層壓力。圖1計算了不同井底壓力(pw)下對應的擬時間修正因子(fcp)。結果表明，pw越小，fcp越大，(mi-mw)／qsc-t斜率較(mi-mw)／qsc-ta偏小程度越明顯，直接使用真實時間分析生產數據的可靠性越差。
2．2 定產生產
定產生產時，同樣利用式(9)式(10)可以獲得探測邊界內的物質平衡方程：
為方便研究，這里做如下假設cg≈1／p，Zg=1，mg=常數，結合利用式(18)，可以得到擬時間與真實時間的近似關系式為：
則產量修正下的擬壓差(mi-mw)／qsc與真實時間t的線性關系應滿足：
用圖2計算得到不同產量下的t1/2與[m(pi)-m(pw)／qsc變化規律。結果表明：t1/2與[m(pi)-m(pw)]／qsc在生產早期呈線性關系，隨著生產進行逐漸偏離直線關系(線性相關系數變小)，偏離程度受氣井產量控制，產量越大偏離直線的起始時間越小，偏離程度越大(線性相關系數越小)，這將導致無法直接使用真實時間分析氣井生產數據。
2．3 變產量生產
物質平衡時間(tmb)能夠較好地處理產量變化引起的時間疊加影響，但Palacio和Blasingame[23]研究表明，tmb通常只在擬穩定階段精確成立。將物質平衡時間(tmb)修正為1.23tmb，物質平衡時間在不穩定流動階段也能夠精確成立(表1)。
將式(20)中的擬時間(ta)替換為修正物質平衡擬時間1.23tmba，可得到變產量條件下的解析表達式為：
物質平衡擬時間表達式應滿足：
其中，探測邊界內的平均地層壓力通過下式確定，即
式(21)與式(23)中均含有未知量xf，這里采用迭代方法計算xf：
1)繪制[m(pi)-m(pw)／qsc與真實物質平衡時間(tmb1/2)的曲線，利用式(21)的線性關系式中的斜率(b)計算xf，作為初值。
2)使用式(23)計算生產數據記錄點處的平均地層壓力，形成t-pavg的數據表。
3)利用t-pavg數據表并結合式(22)，借助數值積分計算物質平衡擬時間(tmba)，進一步形成t-tmba數據表。
4)繪制各個時間點t對應的[m(pi)-m(pw)1／qsc與物質平衡擬時間(tmba1/2)的線性關系式，確定斜率(b)，計算xf。
5)重復步驟(2)～(4)，直到xf收斂為止。
3 實例分析
以某壓裂水平氣井為例進行計算驗證。其中地層滲透率為0.187mD，厚度為11.7m，孔隙度為12.4％，原始地層壓力為28.95MPa，原始地層溫度為313.15K，水平段長度為1045m，壓裂10段，氣井生產歷史見圖3。
按照上述迭代算法分析氣井生產數據。圖4計算了不同時刻探測邊界移動規律以及探測邊界內的平均地層壓力，結果表明：隨著生產的進行，探測邊界不斷向外傳播，傳播速度逐漸減慢，同時井底壓力不斷下降，探測邊界內的平均地層壓力隨之下降。
圖5對比了使用物質平衡時間和物質平衡擬時間的計算效果：①直接使用物質平衡時間，生產數據間的線性關系并不明顯，直線的線性相關系數較低，斜率整體偏低，同時呈現出定壓和定產情況的特征；②使用物質平衡擬時間，能夠明確生產數據間的線性關系，此時擬合出的線性關系式是考慮了氣體高壓物性和產量變化共同作用的結果，更接近氣體的實際流動情況。利用生產數據間的線性關系斜率(b)來計算壓裂長度(xf)：
由于圖5中物質平衡擬時間對應的直線斜率(btmba)大于物質平衡時間斜率(btmb)，故使用真實時間分析氣井生產數據導致壓裂參數計算結果偏高，物質平衡時間計算結果為xf=53.40m，物質平衡擬時間計算結果為41.73m，為進一步驗證計算結果，基于線性流動模型重新計算井底壓力，同時對比實測壓力(圖6)。圖6表明，基于擬時間(xf=41.73m)解釋參數的預測結果更為合理，而真實時間(xf=53.40m)解釋結果則高估了氣井的實際生產能力，導致相同生產時間內井底壓力的下降幅度更大。
4 結論
1)完整給出了考慮氣井產量變化和探測邊界影響的氣體滲流數學模型，用積分平均方法完成了近似求解，得到了探測邊界傳播規律的通用解析表達式，并通過對比經典結果驗證近似解的準確性。
2)探測邊界公式中時間修正為物質平衡時間，利用新公式計算的探測邊界內地層儲存氣體對氣井產量貢獻率超過90％，高于Watterbarger結果，提高了在探測邊界內使用物質平衡方程的精度。
3)同修正擬壓差擬時間形成的線性關系式相比，定產條件下直接使用真實時間導致線性關系不成立，定壓條件下則引起直線斜率減小，其偏差程度分別由氣井產量及井底壓力決定。
4)在實際氣井生產中，氣體物質平衡擬時間函數能夠明確生產數據間的線性關系，提高壓裂參數解釋結果的可靠性，為準確評價水力壓裂效果提供理論支持。
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本文作者：王軍磊 賈愛林 甯波 蔣俊超
作者單位：中國石油勘探開發研究院
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